Отец Александра — директор фермы в Коломенском районе. Он вместе с родителями жил на ее территории и помогал с хозяйством.
До 15 лет Рябинкин параллельно занимался футболом и хоккеем. Был защитником воскресенского «Химика» — фарм-клуба «Спартака» из Континентальной хоккейной лиги. Когда ему предложили перейти в молодежную команду — Александр отказался, сделав выбор в пользу футбола.
Уже в 18 лет вратарь стал капитаном «Коломны», а в 21 год — одним из лидеров «Текстильщика», где провел 60 матчей: 54 пропущенных мяча, 25 «сухарей».
В январе 2026 года Рябинкин проходил просмотр в «Крыльях Советов» из РПЛ, однако 26 августа подписал соглашение с БАТЭ.
